خب، بریم سراغ حل این مسئله‌ی ریاضی!
اول از همه، بیایید ببینیم اصلاً سوال چی می‌خواد ازمون؟ 🤔
سوال از ما خواسته یه دایره‌ای رو پیدا کنیم که مرکزش یه نقطه مشخصه (۱, ۲) و این دایره طوری باشه که فقط یه بار به یه خط برخورد کنه. به این حالت میگن مماس بودن. یعنی خط، دایره رو لمس می‌کنه ولی از داخلش رد نمی‌شه.
برای اینکه این مسئله رو حل کنیم، باید چند تا چیز رو بدونیم:
- دایره: یه شکل هندسی که همه نقطه‌هاش با مرکزش فاصله‌ی ثابتی دارن. به این فاصله میگن شعاع دایره.
- مرکز دایره: نقطه‌ای در وسط دایره.
- خط: یه مسیر مستقیم بی‌انتها.
- مماس: وقتی یه خط فقط یه نقطه با یه شکل هندسی (مثل دایره) داشته باشه، بهش میگن مماس.
حالا بیایید قدم به قدم جلو بریم و این مسئله رو حل کنیم. 🤓
۱. پیدا کردن معادله‌ی خط:
اولین کاری که باید انجام بدیم اینه که معادله‌ی خطی که از دو نقطه (۱, ۱-) و (۲, ۴) می‌گذره رو پیدا کنیم. برای این کار، از فرمول شیب استفاده می‌کنیم:
شیب = (تغییر در y) / (تغییر در x)
تغییر در y = ۴ - (۱-) = ۵
تغییر در x = ۲ - ۱ = ۱
پس شیب خط میشه ۵/۱ یا همون ۵. 🤩
حالا که شیب رو داریم، می‌تونیم از فرمول نقطه‌شیب برای پیدا کردن معادله‌ی خط استفاده کنیم:
y - y1 = m(x - x1)
که در اینجا:
- m = شیب (۵)
- (x1, y1) = یکی از نقاط روی خط (مثلاً ۱, ۱-)
پس معادله‌ی خط میشه:
y - (۱-) = ۵(x - ۱)
y + ۱ = ۵x - ۵
y = ۵x - ۶
خیلی خوب! حالا معادله‌ی خط رو داریم. 🎉
۲. فاصله از نقطه تا خط:
حالا باید فاصله‌ی مرکز دایره (۱, ۲) تا خط y = ۵x - ۶ رو پیدا کنیم. این فاصله در واقع برابر با شعاع دایره است. برای محاسبه‌ی این فاصله، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:
فاصله = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)
که در اینجا:
- Ax + By + C = ۰ معادله خط رو به این شکل نوشتیم (یعنی ۵x - y - ۶ = ۰)
- (x0, y0) = مختصات مرکز دایره (۱, ۲)
پس:
- A = ۵
- B = ۱-
- C = ۶-
- x0 = ۱
- y0 = ۲
حالا مقادیر رو توی فرمول قرار می‌دیم:
فاصله = |۵(۱) + (۱-)(۲) + (۶-)| / √(۵^2 + (۱-) ^2)
فاصله = |۵ - ۲ - ۶| / √(۲۵ + ۱)
فاصله = |-۳| / √۲۶
فاصله = ۳ / √۲۶
این فاصله، شعاع دایره است. 🥳
۳. معادله‌ی دایره:
حالا که مرکز و شعاع دایره رو داریم، می‌تونیم معادله‌ی دایره رو بنویسیم:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
که در اینجا:
- (h, k) = مختصات مرکز دایره (۱, ۲)
- r = شعاع دایره (۳ / √۲۶)
پس معادله‌ی دایره میشه:
(x - ۱)^2 + (y - ۲)^2 = (۳ / √۲۶)^2
(x - ۱)^2 + (y - ۲)^2 = ۹ / ۲۶
تبریک می‌گیم! ما موفق شدیم معادله‌ی دایره‌ای رو پیدا کنیم که مرکزش (۱, ۲) و بر خط گذرنده از (۱, ۱-) و (۲, ۴) مماس است. 🎊
(x - ۱)^2 + (y - ۲)^2 = ۹ / ۲۶
راه حل تستی و کوتاه:
- معادله خط: y = ۵x - ۶
- شعاع دایره: r = ۳ / √۲۶
- معادله دایره: (x - ۱)^2 + (y - ۲)^2 = ۹ / ۲۶
حالا بیایید یه نگاهی به اصطلاحات و مفاهیم استفاده شده بندازیم تا مطمئن بشیم همه چیز رو فهمیدیم:
- دایره: یه شکل هندسی که تمام نقطه‌هاش از یک نقطه (مرکز) به یک فاصله (شعاع) قرار دارن. مثل یه چرخ یا یه سکه.
- مرکز دایره: نقطه‌ای در وسط دایره. مثل میخکی که چرخ دورش می‌چرخه.
- خط: یه مسیر مستقیم بی‌انتها. مثل یه نخ صاف کشیده شده.
- مماس: وقتی یه خط فقط یه نقطه با یه شکل هندسی داشته باشه، بهش میگن مماس. مثل وقتی یه مداد رو روی کاغذ می‌کشیم و فقط یه نقطه از مداد با کاغذ تماس داره.
- شیب: نشون می‌ده که یه خط چقدر تند یا کند بالا میره. اگه شیب زیاد باشه، خط تندتره.
- معادله‌ی خط: یه فرمول ریاضی که نشون می‌ده یه خط چه شکلیه و کجا قرار گرفته.
- فاصله از نقطه تا خط: کوتاه‌ترین مسیر از یه نقطه تا یه خط. مثل وقتی می‌خوایم از یه خونه به خیابون اصلی بریم، کوتاه‌ترین راه همون فاصله‌ی عمود از خونه تا خیابونه.
- شعاع دایره: فاصله‌ی مرکز دایره تا هر نقطه‌ای روی دایره. مثل طول یکی از میله‌های چرخ.
- معادله‌ی دایره: یه فرمول ریاضی که نشون می‌ده یه دایره چه شکلیه و کجا قرار گرفته.
امیدوارم این توضیحات بهتون کمک کرده باشه تا مسئله رو بهتر درک کنید. 😊
سه سوال مشابه:
- محیط دایره‌ای بنویسید که مرکز آن (۲, ۳) و بر خط گذرنده از (۰, ۱) و (۴, ۵) مماس باشد.
- معادله دایره‌ای را پیدا کنید که مرکز آن (-۱, ۴) و بر خط x + y - ۲ = ۰ مماس است.
- دایره‌ای با مرکز (۳, -۲) بنویسید که بر خط ۲x - y + ۵ = ۰ مماس باشد.
😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊